Un test de dépistage

Énoncé

Un laboratoire médical décide de tester un nouveau type de dépistage contre la grippe sur un groupe de volontaires. 
Sur le groupe de volontaires,  `30%` ont obtenu un test positif et, parmi eux,  `2%` n'étaient pas malades de la grippe. Sur les individus ayant obtenu un test négatif,  `5%` étaient malades de la grippe.

On note les événements :

• \(\text +\)   « le test est positif »
  
• \(-\)   « le test est négatif » 
  
• \(\text M\) « l'individu est malade »
  

Dans cet exercice, on assimile toute fréquence à une probabilité.

1. Tracer l'arbre pondéré correspondant à la situation.

On tire au hasard un individu dans le groupe test.

2. Quelle est la probabilité que l'individu soit malade ?

3. Comparer la probabilité d'un faux positif (l'individu n'est pas malade alors que son test affiche un résultat positif) et d'un faux négatif (l'individu est malade alors que son test affiche un résultat négatif). Le test semble-t-il fiable ?

4. Pour commercialiser le test, il faut que la probabilité que le test soit positif sachant que l'individu était malade soit supérieure à 90 %. Est-ce le cas ici ?

Solution

1.

2. On demande  \(P(\text M)\)  : avec la formule des probabilités totales :
\(P(\text M) = P(\text + \cap \text M ) + P({-} \cap \text M) = 0,3 \times 0,98 + 0,7 \times 0,05 = 0,329\) .
La probabilité que l'individu soit malade est de \(0,329\) .

3. La probabilité d'un faux positif est  \(P_\text +(\overline{\text M}) = 0,02\)  et la probabilité d'un faux négatif est  \(P_{\text -}(\text M) = 0,05\) . Le test semble plutôt fiable.

4. La probabilité que le test soit positif sachant que l'individu est malade est de  \(P_\text M(\text +) = \dfrac{P(\text M \cap \text +)}{P(\text M)} = \dfrac{ 0,3 \times 0,98}{0,329} \approx 0,894\) .
Cette probabilité est trop faible par rapport aux standards de commercialisation : il ne sera pas possible de commercialiser ce test.